Boolen algebra. Osa 1. Hieman historiaa

Koulussa opisimme kaikki algebraa, mutta he eivät puhu Boolen algebraa siellä. Mikä on Boolen algebran ja koulualgebran ero, sen ilmestymisen historia, ongelmat ja sovellukset on kuvattu tässä artikkelissa.

Piiri, jonka avulla kaksi kytkintä voi kytkeä valon päälle käytävässä menemään käytävään ja sammuttaa sen huoneeseen mennessä, on ollut tiedossa jo kauan (ks. Käytävän valaistuksen ohjauspiiri). Se on esitetty kuvassa 1.

Tehtävä numero 1. Monimutkaisempi. Luo kaavio, jonka avulla voit kytkeä huoneeseen valon päälle ja pois päältä millä tahansa kolmesta eri kytkimestä. Kytkimet sijaitsevat huoneen sisäänkäynnissä, sängyn yläpuolella ja pöydän ääressä.

Tehtävä numero 2.

Urheilukomiteaan, kuten tehdaskomiteaan, kokoontui 5 tuomaria.

Jokaisen heistä on äänestettävä erilaisista päätöksistä. Päätös hyväksytään äänten enemmistöllä, mutta vain lisäedellytyksellä, että valiokunnan puheenjohtaja äänestää sen puolesta.

Tuomarit äänestävät painamalla painiketta, joka sulkee pöydän alla olevan kytkimen, jossa he istuvat. Kytkimen sulkemisen jälkeen he äänestävät puolesta, kytkemällä miinukset. Piirrä yksinkertainen kaavio, jonka avulla voit nähdä äänestystulokset automaattisesti. Yksinkertaisimmassa tapauksessa yksinkertaisesti lampun avulla - syttyi - päätös tehtiin, ei sytty - ei.

Tehtävä numero 3. Käytännössä tämä on epätodennäköistä, mutta monimutkaisena kasvatustehtävänä on varsin sopiva.

Suuri kuusikulmainen huone, yksi kytkin asennetaan jokaiselle seinälle. Rakenna piiri niin, että voit milloin tahansa kytkeä huoneeseen valon tai sammuttaa sen kääntämällä yhtä (mitä tahansa) kytkintä.

Kun olet menestyksekkäästi istunut tehtävien välillä kolme tai neljä päivää, aseta ne väliaikaisesti syrjään. Ja ole kiireinen Boolen algebra. Se on Boolen algebra tai, kuten sitä myös kutsutaan, Boolen algebra, relepiiri algebra, auttaa sinua ratkaisemaan ongelmasi.

Mikä on Boolen algebra?

Kummallista, vaikka monet viisi vuotta he ovat opiskelleet algebraa koulussa, monet opiskelijat ja myöhemmin aikuiset eivät pysty vastaamaan kysymykseen, mikä on algebra? Algebra on tiede, joka tutkii joidenkin elementtien joukkoja ja niihin kohdistuvia toimia.

Algebran koulukurssilla tällaiset elementit ovat numeroita. Numeroita ei voida merkitä numeroilla, vaan kirjaimilla, kaikki tietävät tämän. Algebran ensimmäisissä oppitunneissa se vaikeuttaa aina monia oppilaita. Muista, kuinka vaikeaa oli aluksi tottua lisäämään kirjaimia lukujen sijasta ratkaisemalla yhtälöitä, jotka eivät sano mitään.

Luultavasti jokainen meistä kysyi sitten itseltämme kysymyksen: "Miksi meidän on kirjoitettava kirjeitä lukujen sijasta ja onko sitä ollenkaan tarpeen?" Ja vasta myöhemmin näit, mitä etuja algebra antaa ongelmien ratkaisemisessa verrattuna aritmeettisiin.

Algebraa käytetään monissa tarkkoissa tieteissä. Tämä on fysiikkaa, mekaniikkaa, sopromaattia, sähköä. Ohmin laki ei ole muuta kuin algebrallinen yhtälö: riittää, kun korvataan niiden numeeriset arvot kirjaimien sijasta selvittääksesi mikä virta virtaa kuormassa tai mikä vastus piirin osalla on.

Joten tutustuit lukujen algebraan tai ala-algebraan. Tärkein ja melkein ainutlaatuinen tehtävä on saada vastaus kysymykseen: “Mikä on X: n kanssa? Kuinka paljon? ”

Lukiossa he opiskelevat vektorialgebran alkua. Tämä algebra on pohjimmiltaan erilainen kuin perusalgebra. Sillä on erilainen luonne tutkituista kokonaisuuksista ja muista toimintasäännöistä. Ratkaisemalla vektoriyhtälö saadaan vastaukseen vektori, joka ei ole tavallinen luku ja joka vastaa kysymykseen "Kuinka paljon?"

Vektori-algebran kaavat ovat monessa suhteessa erilaiset kuin perus-algebran kaavat. Esimerkiksi perusalgebrassa ja vektorialgebrassa on lisäysoperaatio. Mutta se suoritetaan täysin eri tavoin.Numeroiden lisäys ei ole lainkaan samaa kuin vektorien summaus.

On myös muita algebreja: lineaarinen algebra, rakenteiden algebra, renkaiden algebra, logiikan algebra tai mikä on sama asia, Boolen algebra. Et todennäköisesti kuullut nimeä koulutunneissa. George Boole - mutta kaikki tietävät yhden lahjakkaiden tyttäreidensä Ethel Voinichin (1864 - 1960) nimen. Hän kirjoitti romaanin "Gadfly", joka puhuu taistelussa italialaisten hiilimiehien oikeuksista.

George Bull syntyi Englannissa 2. marraskuuta 1815. Koko elämänsä hän työskenteli matematiikan ja fysiikan opettajana koulussa. Opiskelijoiden muistelmista selviää, kuinka suurta merkitystä Bul piti opiskelijoiden luovien kykyjen kehittämiseen. Esittelemällä uutta materiaalia hän pyrki varmistamaan, että hänen oppilaansa itse ”löysivät” tietyt kaavat ja lait.

Kertoessaan opiskelijoille vaikeuksista, jotka tutkijoiden väistämättä kohtaavat totuutta etsiessään, opettaja halusi toistaa yhden itäisen viisauden: edes Persian valtaistuin ei voi tuoda ihmiselle niin paljon nautintoa kuin pienin tieteellinen löytö. Buhl ei koskaan menettänyt toivoa, että joskus hänen opiskelijansa tekisivät todellisen löytön.

Buhlin tieteellisten intressien joukko oli erittäin laaja: hän oli kiinnostunut yhtä lailla matematiikasta ja logiikasta - lakien ja ajattelun muodoista. Noina aikoina logiikkaa pidettiin humanitaarisena tieteenä, ja monet George Boolea tunteneet olivat hämmästyneitä siitä, kuinka matematiikan luonnolliset kognitiomenetelmät ja puhtaasti kuvailevat logiikan menetelmät saattoivat esiintyä yhdessä henkilössä.

Mutta tiedemies halusi tehdä lakien ja ajattelun muotojen tiedestä yhtä tiukan kuin minkä tahansa luonnontieteen, sanoen matematiikan ja fysiikan. Tätä varten Boule alkoi ilmaista numeroita kirjaimina, kuten tavallisessa algebrassa tehdään, mutta lausunnoilla ja osoitti, että sellaiset yhtälöt, jotka ovat hyvin samankaltaisia ​​kuin algebralliset, voivat ratkaista ihmisen lausuntojen totuuden ja virheellisyyden kysymykset. Joten Boolen algebra syntyi.

Mutta kauan ennen George Boolea, saksalainen matemaatikko ja filosofi Gottfried Leibniz (1646–1716) ilmaisi ensin ajatuksen luoda tiede, joka määrittelee kaikki käsitteet tavallisesta puhekielestä symboleilla ja perustaisi uuden algebra näiden symbolien yhdistämiseksi.

Tällaisen tieteen luomisen jälkeen Leibnizin mukaan tiedemiehet ja filosofit lopettavat kiistelemät ja huutavat toisilleen selvittääkseen totuuden, mutta ottavat kynän ja sanovat rauhallisesti: "Laskemme!"

Nykyään logiikan algebrasta on tullut tärkeä osa matematiikkaa. Yksi sen tehtävistä on ratkaista kaikenlaisia ​​yhtälöitä, joiden numeeriset suhteet korvataan aakkosellisilla. Jokainen teistä luultavasti muisti koko elämäsi, kuinka ratkaista toisen ja kolmannen asteen yhtälöt kirjakertoimilla. Joten, Boole käytti uudessa algebrassaan kaikkia näitä kaavoja ja sääntöjä.

Boolen algebrassa on uutta se, että siinä tutkitut joukon elementit eivät ole numeroita, vaan lauseita. Jos ratkaistaessa tavallisia algebralia yhtälöitä määritetään mikä lukumäärä on tuntematon X, koulualgebra etsii vastausta kysymykseen: "Kuinka paljon?"

Loogisen algebra etsii vastausta kysymykseen: "Onko tämä vai tuo lausunto merkitty kirjaimella X totta?"

Lausunnon merkityksellä ja sisällöllä ei ole tässä roolia. Jokainen lausunto voi olla vain totta tai vääriä. Se ei voi olla puoliksi totta ja puoli vääriä. Esimerkiksi voimme muistuttaa erien heittämisestä kolikolla.

Ainoastaan ​​kahta kolikkovaltiota pidetään siellä - päät tai häntä. Osapuolten sopimuksella kotka on KYLLÄ, ja hännät EI. Muita välipisteitä ei oteta huomioon todennäköisyys teoriassa, vaikka ne ovatkin mahdollisia. Käännetty kolikko voi pudota reunalle, rullata lattiasta tuolin tai pöydän jaloille ja pysyä pystyasennossa tai jopa pudota lattian laajaan aukkoon. (Analogisesti sähköpiirien kanssa, kahta viimeistä tilannetta voidaan pitää toimintahäiriönä palaneen koskettimen muodossa).Mutta noina aikoina Boolen algebraa ei valitettavasti käytetty laajalti.

Claude Shannon ”löysi” uudelleen Buhlin algebran. Vuonna 1938, vielä opiskellessaan Massachusettsin teknillisessä instituutissa ja Amerikassa, nuori Claude osoitti, että Boolen algebra on täysin sopiva rele- ja kytkentäpiirien analysointiin ja synteesiin.

Boolen algebran avulla on erittäin helppo tehdä releellä toimivan automaation sähköpiiri.Tätä varten osoittautuu, sinun tarvitsee vain tietää tarkalleen, mitä koneen pitäisi tehdä, ts. Sinun on oltava algoritmi sen toiminnalle. Joten perustettiin digitaalisten koneiden teorialle, jotka toimivat KYLLÄ tai EI periaatteella.

Tällainen, lyhyesti sanottuna, on Boolen algebran historiaa. Seuraavissa artikkeleissa tarkastelemme sen perustuslakia, esimerkkejä näiden lakien toteuttamiseen tarkoitetuista yhteyspiireistä. Mieti ratkaisua artikkelin alussa annettuihin tehtäviin.

Artikkelin jatko: Boolen algebra. Osa 2. Peruslait ja toiminnot

Boris Aladyshkin